發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價(jià)值，數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn)。但是，在小學(xué)中低年級(jí)，算術(shù)思維教學(xué)和培養(yǎng)占主導(dǎo)地位，代數(shù)思維的培養(yǎng)和滲透尚未引起應(yīng)有的重視。

代數(shù)思維的價(jià)值和意義

全球視域內(nèi)，從美國“大眾代數(shù)”“早期代數(shù)”等理念到國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)在“代數(shù)教學(xué)的未來”會(huì)議上正式成立“早期代數(shù)工作組”，標(biāo)志著“早期代數(shù)思維”培養(yǎng)正式成為國際數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)重要領(lǐng)域，在小學(xué)階段發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維已經(jīng)成為全球共識(shí)。

代數(shù)思維培養(yǎng)指向數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模三個(gè)數(shù)學(xué)基本思想。第一，代數(shù)思維的基本特征是用符號(hào)表示，而符號(hào)是在數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象的結(jié)果。第二，代數(shù)是一種形式的符號(hào)操作，這種操作是一種基于規(guī)則的推理。第三，代數(shù)思維主要表現(xiàn)為利用符號(hào)系統(tǒng)表征研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)與關(guān)系，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模。因此，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維既能打開學(xué)生抽象思維的大門，也能為邏輯推理提供工具，為學(xué)生使用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)意圖奠定基礎(chǔ)。此外，代數(shù)思維也日益成為歷史學(xué)、科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、商業(yè)以及日常生活的重要內(nèi)容。

    代數(shù)思維培養(yǎng)的誤區(qū)

綜合已有研究以及當(dāng)下實(shí)踐，在小學(xué)生代數(shù)思維培養(yǎng)上存在兩種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)：

一是有人認(rèn)為代數(shù)思維可在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展基礎(chǔ)上自然成長，隨著年齡的增長、大腦的發(fā)育以及認(rèn)知水平的提高，代數(shù)思維會(huì)自然而然地得到應(yīng)有的發(fā)展，不需外在過多關(guān)注和干預(yù)。但從本質(zhì)來看，算術(shù)是數(shù)的運(yùn)算，代數(shù)則是符號(hào)的運(yùn)算。事實(shí)證明，從算術(shù)到代數(shù)的轉(zhuǎn)換對(duì)學(xué)生來說是困難的，學(xué)生需年齡較小時(shí)就有機(jī)會(huì)從事代數(shù)推理，自小學(xué)起就應(yīng)該滲透和培養(yǎng)代數(shù)思維的習(xí)慣。

二是有人認(rèn)為算術(shù)思維是代數(shù)思維發(fā)展的前提基礎(chǔ)，認(rèn)為代數(shù)思維必須建立在小學(xué)階段培養(yǎng)的計(jì)數(shù)和計(jì)算能力、幾何推理以及測(cè)量技能等概念上。但是，教師在引導(dǎo)學(xué)生理解和應(yīng)用相關(guān)概念解決問題的過程中，往往忽略了對(duì)問題中的關(guān)系與結(jié)構(gòu)的關(guān)注，卻更加強(qiáng)調(diào)結(jié)果的正確性。為了獲取問題的答案，學(xué)生也把注意力更多地放在對(duì)具體數(shù)的操作和思考上，而忽視了對(duì)現(xiàn)實(shí)問題中蘊(yùn)含的結(jié)構(gòu)和關(guān)系的把握與探討。

以上兩種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致了教學(xué)實(shí)踐中算術(shù)教學(xué)與代數(shù)教學(xué)的割裂和分離。通常認(rèn)為，算術(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重中之重，代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重中之重。大多數(shù)學(xué)校的數(shù)學(xué)課程將算術(shù)和代數(shù)分開，這種分離使很多學(xué)生在中高年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)代數(shù)更加困難。

    如何培養(yǎng)小學(xué)生代數(shù)思維

如何發(fā)展小學(xué)生的代數(shù)思維？不妨從以下四個(gè)方面入手。

一是科學(xué)認(rèn)識(shí)小學(xué)生代數(shù)思維的本質(zhì)及其發(fā)展規(guī)律。

代數(shù)思維的顯著特征是符號(hào)語言的運(yùn)用，符號(hào)是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的基本要素。代數(shù)思維的培養(yǎng)并非是經(jīng)歷足夠多的練習(xí)便可跨越的量變過程，而是必須經(jīng)歷從數(shù)到代數(shù)的抽象、運(yùn)算和建模等結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換才能實(shí)現(xiàn)的質(zhì)變過程，其重要標(biāo)志是從等號(hào)程序觀念到等號(hào)關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變。算術(shù)思維與代數(shù)思維之間并不是截然分開的。在算術(shù)思維的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該充分利用教材中的素材，適時(shí)創(chuàng)造條件和機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生向代數(shù)思維轉(zhuǎn)變。代數(shù)的解釋方法也可以用于算術(shù)式的解釋。例如，表達(dá)式“3+4”不僅可以理解為計(jì)算過程的描述，還可以理解為數(shù)字的符號(hào)，進(jìn)而關(guān)注其結(jié)構(gòu)特征，即3個(gè)和4個(gè)各種不同東西匯集在一起的統(tǒng)一符號(hào)模型，學(xué)生建立起這樣的意識(shí)和認(rèn)識(shí)需要不斷地思考和積累。算術(shù)思維好并不預(yù)示著代數(shù)思維一定強(qiáng)。算術(shù)思維可以說是代數(shù)思維的基礎(chǔ)，運(yùn)算本身就是邏輯推理的過程，但并不意味著一定要經(jīng)過反復(fù)練習(xí)夯實(shí)好算術(shù)思維之后才可以接觸和學(xué)習(xí)代數(shù)，而應(yīng)該在算術(shù)的練習(xí)和強(qiáng)化過程中適時(shí)引入代數(shù)思維的傾向和體驗(yàn)，讓學(xué)生充分感知代數(shù)思維的魅力和價(jià)值。

二是深入分析小學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展的外在表現(xiàn)和內(nèi)在機(jī)制。小學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展不足的主要表現(xiàn)是只要看見式子就想算出結(jié)果，將其視為因果關(guān)系，等號(hào)左邊是因，右邊是果，很難將等號(hào)兩側(cè)的內(nèi)容看作等價(jià)關(guān)系；另外，在方程學(xué)習(xí)過程中難以理解方程的價(jià)值和意義，不能將方程視為解決一類問題的模型，而只是作為一個(gè)解決問題的工具，為了用方程而用方程，不懂方程的本質(zhì)和內(nèi)涵。

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，小學(xué)生（7—12歲）正處于具體運(yùn)算階段，正值形象思維向抽象思維過渡的階段，其對(duì)事物的理解與認(rèn)識(shí)更多依托于具體情境，該階段的兒童更適合事實(shí)性、技能性的學(xué)習(xí)內(nèi)容的習(xí)得。代數(shù)是對(duì)算術(shù)進(jìn)一步的抽象，代數(shù)的學(xué)習(xí)需要更多抽象思維的參與，因此小學(xué)生代數(shù)思維意識(shí)和能力不強(qiáng)，需要教師不斷地引導(dǎo)和強(qiáng)化，保證學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的順利過渡。

三是充分利用教材中的顯性和隱性代數(shù)思維培養(yǎng)載體。從顯性內(nèi)容來看，小學(xué)階段的代數(shù)初步知識(shí)包括式與方程、正比例和反比例。式與方程包括用字母表示數(shù)和簡(jiǎn)易方程?！白帜副硎緮?shù)”的學(xué)習(xí)標(biāo)志著小學(xué)生正式進(jìn)入代數(shù)的學(xué)習(xí)，開始從對(duì)“數(shù)量”的理解更多地轉(zhuǎn)向?qū)Α瓣P(guān)系”的探討。在講授這些相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師要通過多種途徑、多元刺激和多方引導(dǎo)，幫助學(xué)生從關(guān)注數(shù)量到關(guān)注關(guān)系，從關(guān)注獲取結(jié)果到關(guān)注結(jié)構(gòu)特征，從關(guān)注直接的數(shù)到關(guān)注表示數(shù)的各種符號(hào)，從關(guān)注特殊到關(guān)注一般。學(xué)生要經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象為方程的過程，積累將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)，會(huì)用方程解決簡(jiǎn)單問題，進(jìn)一步理解等量關(guān)系，不斷增強(qiáng)代數(shù)思維能力。此外，還有各種運(yùn)算律，這類內(nèi)容的教學(xué)不僅僅是教會(huì)學(xué)生記住和應(yīng)用各種運(yùn)算律，而是重視運(yùn)算律獲得的過程，以及對(duì)運(yùn)算律意義的理解，進(jìn)而讓學(xué)生感知等量關(guān)系。從隱性內(nèi)容來看，教材中也蘊(yùn)含著很多培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的設(shè)計(jì)和安排，關(guān)鍵看教師能否充分利用這些內(nèi)容去啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注等價(jià)關(guān)系與結(jié)構(gòu)特征，突破算術(shù)思維定式，逐步形成代數(shù)思維習(xí)慣。

四是創(chuàng)造多元機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生從算術(shù)思維逐漸向代數(shù)思維過渡。關(guān)系性思維、結(jié)構(gòu)性思維是代數(shù)思維的重要特征。要關(guān)注學(xué)生關(guān)系性思維、結(jié)構(gòu)性思維及其應(yīng)用，順應(yīng)并引導(dǎo)學(xué)生思維。學(xué)生利用算術(shù)思維解決問題同樣需要利用基本數(shù)量關(guān)系，在遇到逆向思維問題時(shí)，學(xué)生需要通過正向結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出逆向結(jié)構(gòu)，然后利用逆向結(jié)構(gòu)算出結(jié)果。這個(gè)過程是學(xué)生利用關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程，不但可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，還可以幫學(xué)生積累對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行操作的經(jīng)驗(yàn)。教師要充分關(guān)注這種數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化的價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的關(guān)系性思維。要鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用方程解決問題。方程是小學(xué)代數(shù)初步的核心內(nèi)容，教師要通過不同的問題載體幫助學(xué)生感知和體驗(yàn)數(shù)量關(guān)系建模的過程和意義，幫助學(xué)生養(yǎng)成應(yīng)用方程的習(xí)慣，提高學(xué)生運(yùn)用方程解決問題的能力。

（作者單位：北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)）

《中國教育報(bào)》2020年06月18日第12版